数学，也许给某些同学的感觉是——头痛。似熟不熟的符号，似是而非的概念，似懂非懂的解法，使人望而生厌，哪里还谈得上审美情趣？其实不然。请看宋代文学家苏轼画的一幅《百鸟归巢图》（图1），
广东一位名叫伦文叙的状元，给此画题了一首诗：
归来一只复一只，
三四五六七八只。
凤凰何少鸟何多，
啄尽人间千石食。
究竟苏轼画中确实有100只鸟，还是只有8只鸟呢？原来诗人使用了数论中整数分拆的方法，把100分成两个1，三个4，五个6和七个8之和，含而不露地落实了百鸟图中的“百”字： 1×2+3×4+5×6+7×8=100，可谓匠心独具。
整数的分拆，即把一个正整数按给定条件分成若干个正整数之和，是数论和组合论中一个非常活跃的数学分支，它涉及广泛而艰深的数学理论。著名的“哥德巴赫猜想”也可看成两个素数之和。整数的分拆是诗歌中常用的修饰手法。
何谓数学美？这听起来好像难以琢磨。其实，数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人的创造性思维，就是数学的“美”。一个正确的数学理论，反映了客观事物的本质和规律，这是数学的“真”；数学理论不管离现实有多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向，这是数学的“善”。数学就是人文精神里真善美的统一。数学的美主要体现在五个方面：和谐美、简洁美、奇异美、自然美与意境美。
一、和谐美
和谐美的主要表现形式是统一、有序、无矛盾。美学中所说的整体美、平衡美、对称美以及中和美都是和谐美。
四则运算中的“＋、－、×、÷”，比较大小的“＜”“＞”“＝”，还有改变运算顺序的小括号（ ）、中括号［ ］、大括号{ }等等，这些符号都讲究上下左右对称，如果书写时不注意它们的对称性，错写漏写都会破坏它们的内在美。
有一副对联：“海上飞燕飞上海，江内行船行内江。”上下联均为回文句式，顺读倒读都是同一个句子。数学里也不乏这样的回文对称现象，如：
12×12=144，21×21=441；
13×13=169，31×31=961；
102×102=10404，201×201=40401；
103×103=10609，301×301=90601；
29+25+24=28+27+23，92+52+42=82+72+32。
数学知识的对称主要有轴对称美，如等腰三角形、矩形等；中心对称美，如平行四边形、圆等；形式对称美，如正（+）与负（－）、加法与减法、乘法与除法、正比与反比等。图2既呈轴对称，又呈中心对称。许多函数图象（图3）也有对称性，给我们探求函数的性质提供了方便。几何图形的对称运用在建筑、美术领域中给人以无穷的美感，北京故宫（图4）就是典型的例子。
黄金分割数0.618，可以说是生活中和谐美的代言人。最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字桌台面、书籍、门窗等，其短边与长边之比为0.618。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守0.618值。最有趣的是，在消费领域也可用这个“黄金数”获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值的情况下，将高档价格减去低档价格再乘以0.618，即为挑选商品的首选价格。它还应用于股市趋势的研判中，研究发现，在股票交易的走势曲线上，一波上冲行情的正常回档和下一轮下跌行情的正常反抽，均处在0.618上下处。美妙绝伦的古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达（图5），其体型结构比例完全符合黄金分割率（在躯干部分，乳房位置的上下长度比，咽喉至头顶和至肚脐之比，膝盖至脚后跟和至肚脐之比等，都约等于0.618）。
二、简洁美
简洁美是指简单明了，并且越简单越美。数学的严谨性，决定它必须准确精练。简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、证明方法和理论体系的结构简洁。简洁、有效、经济给人以美感，繁琐、臃肿、无谓的消耗则给人以相反的感觉。最为典型的是二进制在计算机领域的应用。试想，任何一个复杂的指令，都被译做明确的0、1数字串，这是多么伟大的构想。没有数学的简化，就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代。
“如果真有外星人的话，他们最先接到的人类发送的信息一定是数字。”数学家戈兰肯定地说。现在人类寻找外星人的方式是靠发送一系列的数字：1、4、9、16、25……只要有一些数学常识，外星人一定会明白这些数都是自然数的平方，而不是无规律的数字，从而便能猜测出有生物想和他们对话。
数学的简洁美主要表现在:
1. 定义、性质的高度浓缩性
质数的定义是“只有1和它本身两个约数的数”，若丢掉“只”字，便荒谬无比；小数性质中“小数末尾的0……”若将“末尾”说成“后面”，便失之千里。定义的表述语言精练到了“一字千金”的程度。
2. 公式、法则的高度概括性
一道公式可以解无数道题目，一条法则囊括了万千事例。三角形的面积=底×高÷2，把一切类型的三角形（直角的、钝角的、锐角的、等边的、等腰的、不等边的）都概括无遗。欧拉给出的公式：V－E＋F＝2，堪称“简洁美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说得清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式。一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹？
“数位对齐，个位加起，逢十进一”把各种整数相加方法，全部包括了进去。
3. 符号语言的广泛适用性
数学符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面。数学不愿意把１亿写成100000000，而写成108，更不愿意把一亿分之一写成■，而乐于写成10-8。a+b=b+a，abc=acb=bca……其中a、b、c可以是任意实数。这些用符号表达的算式，既节省了大量文字，又反映了普遍规律，简洁，明了，易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。
4. 解题方法的简便性
许多简便的解法，也是数学简洁美的体现。
如：计算■+■+■+■+■+■+■+■+■。
面对这道计算题，若贸然用一般的通分方法来解决，会带来繁杂的计算。仔细审视会发现每一项的分子都是1，而分母可拆成两个连续自然数的积，即1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，6×7，7×8，8×9，9×10，于是联想到将每个分数都拆成两个分数之差。这样一来，尽管分数的项数增加了一倍，但出现正负相间的两个相同的分数，中间的项抵消了，只剩下首末两项，即
原式=（1-■）+（■-■）+（■-■）+…+（■-■）+（■-■）=1-■=■。
简便之极，你不觉得美吗？
三、奇异美
数学的奇异美是指思维方法或结果新颖奇特，出人意料。数学这棵大树的枝叶总是向着奇异的方向蔓延。七巧板拼图大家很熟悉，用七块板可以拼成一个正方形，也可以拼出千变万化的复杂图案：如人形、鸟兽、花草、房屋等，实在妙趣横生。
我们可以举一个浅显有力的例子：用一张厚度为0.01mm的纸折叠100次，这时有多厚？很容易算出：2100层纸厚。这个厚度到底有多厚呢？2100=（210）10=102410≈（103）10=1030，则2100×0.01mm≈1030×0.01mm=1022km，以地球的半径为6370km计算，赤道的周长约为40000km，那么1022km就是要绕赤道走25×1016圈！难道这个结果还不奇异，还不美吗？
再看一例：已知等腰△ABC中（图6），AB=AC，求证：∠B=∠C。
此题证明等腰三角形两底角相等的性质，一般的方法是先标出底边上的高或顶角的平分线，再用全等三角形来证明。但有人别出心裁直接证明△ABC跟它翻转后的“自身”全等，真是妙不可言!
在△ABC和△ACB中，∵ AB=AC，AC=AB，BC=CB，∴ △ABC≌△ACB，∴ ∠B=∠C。
又如：“凸n（n＞4）边形的对角线最多有几个交点”这个问题，按照习惯会从四边形开始，逐步通过五边形、六边形……来构造对角线的交点，从中归纳出一般规律。在既费力又不理想的情况下，我们要敢于打破常规思考：一个交点是由两条对角线相交而成，两条对角线由四个顶点确定，而凸n边形任意四个顶点都能且只能确定一个交点，于是问题就转化为“在n个顶点中任意取四个，共有几种取法”，答案是n（n-1）（n-2）（n-3）。新颖的方法带来了意想不到的效果。当然，新奇的解法既是奇异的也是简洁的。
四、自然美
数学存在的意义，在于理性地揭示自然界的一些现象和规律，帮助人们认识自然，改造自然。数学，取之于生活又用之于生活。
冬天空中飘落的雪花，洁白轻盈，若用显微镜观察还真是“花”，并且是规则对称的几何图案，图7就是一种常见的雪花。
大树干为什么是圆柱形而不是棱柱形呢？原来，当等高的圆柱和棱柱表面积相等时，圆柱的体积最大，所以圆柱形树干和其他棱柱体相比，在等面积条件下，能够向树枝输送更多的养分。由此看出，大自然是伟大的，她总是以最合理的方式存在。生活中见到的管道总是圆柱形，也是因为它用料最少而输送量最大。
用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面或墙面，正几边形能做到既无缝隙又不重叠呢？简单的数学计算可以解决这个问题。密铺平面关键在于每种正多边形在接合于一点时，这点处的所有角之和恰为360°，也就是说正多边形的内角度数要是360°的约数。从而只有正三角形（30°）、正四边形（90°）和正六边形（120°）符合要求（图8）。蜜蜂筑造的蜂房就是标准的正六边形平面镶嵌。这三种基础图形若与别的多边形结合，又可演变出其他多姿多彩的图案（图9）。所以，铺砌问题一直是数学家和建筑材料商们感兴趣的问题。
三角形具有无与伦比的稳定性，所以许多建筑物都采用三角形结构（图10）。
鹦鹉螺的贝壳像对数螺线（图11），菊的种子排列也成对数螺线，鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物，昆虫以对数螺线的方式接近光源，蜘蛛网的构造与对数螺线相似。这些动植物算不算天然的“数学大师”？
五、意象美
诗歌与数学常常“联姻”，除了《百鸟归巢图》上的题诗外，还有很多：
七八个星天外，
两三点雨山前。
（辛弃疾）
一去二三里，
烟村四五家。
亭台六七座，
八九十枝花。（邵康节）
上面这些诗，意境全来自那几个数词，无论是数词的单个应用，重复引用，抑或是循环使用，看似毫无感染力的数词竟能表现出或寂寥，或欣然，或恬淡，或伤感的思想感情。
“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”这是美国数学家克莱因对数学美的描述。同学们，让我们在学习中欣赏数学的“美”，让“美”助力我们学好数学吧！
（编辑 文 墨）
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